Espaço da Biologia: Fatoração - Diferença de dois quadrados e Trinômio Quadrado Perfeito

Trinômio Quadrado Perfeito - Soma: a² + 2ab + b² = (a + b)²

Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito.
Como fatorar o trinômio abaixo?

Se o pudermos escrever como a² + 2ab + b² estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b)².
Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x² no primeiro termo e o valor de b extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.
Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos do trinômio a² + 2ab + b² devemos chegar a uma variação do trinômio original:

Realizando a substituição de a e b, vamos então analisar a² + 2ab + b² termo a termo para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.
Quando substituímos a por x em a² chegamos ao x² original.
Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 ^_. x ^_. 7, equivalente ao 14x original.
E finalmente substituindo b por 7 em b² chegamos a 7², equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.
Como foi possível escrever x² + 14x + 49 na forma a² + 2ab + b², então estamos mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:

Portanto:

Se o polinômio em questão não fosse um trinômio quadrado perfeito, não poderíamos realizar a fatoração desta forma, visto que a conversão de x² + 14x + 49 em a² + 2ab + b² levaria a um polinômio diferente do original. Por exemplo, se o trinômio fosse x² + 15x + 49, o segundo termo 15x iria diferir do segundo termo obtido via substituição de a e b que é 14x, portanto não teríamos um trinômio quadrado perfeito.
Note que realizamos uma verificação termo a termo para verificar se realmente tínhamos um trinômio quadrado perfeito, mas você não precisará fazer tal verificação quando no enunciado da questão estiver explícito que os polinômios realmente são trinômios quadrados perfeitos.

Exemplos

Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença: a² - 2ab + b² = (a - b)²

Assim como o caso da soma visto acima, de forma análoga temos o caso da diferença.
Vejamos este outro trinômio:

Como 2x é a raiz quadrada de 4x², do primeiro termo, e 5 é a raiz quadrada de 25 do terceiro termo, podemos reescrevê-lo como a seguir, substituindo a por 2x e b por 5 temos:

Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um trinômio quadrado perfeito:

Portanto, temos realmente um trinômio quadrado perfeito que pode ser escrito na forma a² - 2ab + b² = (a - b)²:

Logo:

Exemplos

Cubo Perfeito - Soma: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

Na sentença acima temos um polinômio e a sua forma fatorada, que nada mais é que o cubo da soma de dois termos.
Se temos um polinômio a³ + 3a²b + 3ab² + b³ podemos fatorá-lo como (a + b)³.
Vamos analisar o polinômio abaixo:

Nosso objetivo é escrevê-lo na forma a³ + 3a²b + 3ab² + b³, substituindo a por 7 que é a raiz cúbica de 343 e substituindo b por 3y que é a raiz cúbica de 27y³:

Como visto nos dois tipos anteriores, também neste tipo e no próximo, se não estiver claro no enunciado da questão que realmente se trata de um cubo perfeito, precisamos verificar se todos os membros do polinômio original são iguais aos termos do polinômio obtido via substituição de a e b em a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos de fato um cubo perfeito:

Então temos um cubo perfeito que é fatorado como:

Exemplos

Cubo Perfeito - Diferença: a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³

A forma fatorada do polinômio no primeiro membro da sentença acima é o cubo da diferença de dois termos.
O polinômio a³ - 3a²b + 3ab² - b³ é fatorado como (a - b)³.
Vamos fatorar a sentença abaixo de forma análoga a que fizemos no tipo de fatoração anterior: